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MATLAB 微分

MATLAB提供了 diff 命令用于计算符号导数。在最简单的形式中，将我们要微分的函数作为参数传递给 diff 命令即可。

例如，我们计算函数 $f(t)=3t^2+2t^{-2}$ 的导数

syms t
f = 3*t^2 + 2*t^(-2);
diff(f)

当编译并执行上述代码时，它将生成以下结果：

ans =
6*t - 4/t^3

以下是上述计算的Octave等效代码：

pkg load symbolic
symbols

t = sym("t");
f = 3*t^2 + 2*t^(-2);
differentiate(f,t)

Octave执行该代码并返回以下结果：

ans =
   -(4.0)*t^(-3.0)+(6.0)*t

导数的基本规则验证：

让我们简要陈述不同函数的微分方程或规则并验证这些规则。为此，我们将写f'(x)表示一阶导数，f"(x)表示二阶导数。

以下是微分规则

规则1

对于任何函数f和g和任何实数a和b是函数的导数-

h(x) = af(x) + bg(x) 相对于x的给出 h'(x) = af'(x) + bg'(x)

规则2

和减法规则表示如果f和g是两个函数，则f'和g'是它们的导数，则，

  • (f + g)' = f' + g'
  • (f - g)' = f' - g'

规则3

乘积规则表示如果f和g是两个函数，则f'和g'是它们的导数，则，

  • (f.g)' = f'.g + g'.f

规则4

商规则表示如果f和g是两个函数，则 f' 和 g' 是它们的导数，则，

  • (f/g)' = (f'.g - g'.f)/g^2

规则5

多项式或基本幂规则表示，如果y = f(x) = x^n，则f' = n. x(n-1)

该规则的直接结果是任何常数的导数都是零，即，如果$ y = k $是任何常数，则

  • f' = 0

规则6

链规则表示，函数的函数h(x) = f(g(x))的导数相对于x是，

  • h'(x)= f'(g(x)).g'(x)

在 MATLAB 中使用符号工具箱进行微积分运算的示例：

创建一个脚本文件，然后输入以下代码：

syms x
syms t

f = (x + 2)*(x^2 + 3)  % 定义函数 f
der1 = diff(f)  % 求导数

f = (t^2 + 3)*(sqrt(t) + t^3)
der2 = diff(f)

f = (x^2 - 2*x + 1)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2)
der3 = diff(f)

f = (2*x^2 + 3*x)/(x^3 + 1)
der4 = diff(f)

f = (x^2 + 1)^17
der5 = diff(f)

f = (t^3 + 3* t^2 + 5*t -9)^(-6)
der6 = diff(f)

运行该文件，MATLAB 将显示以下结果：

f =
   (x^2 + 3)*(x + 2)
 
der1 =
   2*x*(x + 2) + x^2 + 3
  
f =
   (t^(1/2) + t^3)*(t^2 + 3)
 
der2 =
   (t^2 + 3)*(3*t^2 + 1/(2*t^(1/2))) + 2*t*(t^(1/2) + t^3)
  
f =
   (x^2 - 2*x + 1)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2)
  
der3 =
   (2*x - 2)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2) - (- 9*x^2 + 10*x)*(x^2 - 2*x + 1)
 
f =
   (2*x^2 + 3*x)/(x^3 + 1)
  
der4 =
   (4*x + 3)/(x^3 + 1) - (3*x^2*(2*x^2 + 3*x))/(x^3 + 1)^2
  
f =
   (x^2 + 1)^17
  
der5 =
   34*x*(x^2 + 1)^16
  
f =
   1/(t^3 + 3*t^2 + 5*t - 9)^6
  
der6 =
   -(6*(3*t^2 + 6*t + 5))/(t^3 + 3*t^2 + 5*t - 9)^7

以下是 Octave 中相应的代码：

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
t = sym("t");

f = (x + 2)*(x^2 + 3) 
der1 = differentiate(f,x) 

f = (t^2 + 3)*(t^(1/2) + t^3) 
der2 = differentiate(f,t) 

f = (x^2 - 2*x + 1)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2) 
der3 = differentiate(f,x) 

f = (2*x^2 + 3*x)/(x^3 + 1) 
der4 = differentiate(f,x) 

f = (x^2 + 1)^17 
der5 = differentiate(f,x) 

f = (t^3 + 3* t^2 + 5*t -9)^(-6) 
der6 = differentiate(f,t)

Octave执行代码，返回如下结果

f =

(2.0+x)*(3.0+x^(2.0))
der1 =

3.0+x^(2.0)+(2.0)*(2.0+x)*x
f =

(t^(3.0)+sqrt(t))*(3.0+t^(2.0))
der2 =

(2.0)*(t^(3.0)+sqrt(t))*t+((3.0)*t^(2.0)+(0.5)*t^(-0.5))*(3.0+t^(2.0))
f =

(1.0+x^(2.0)-(2.0)*x)*(2.0-(5.0)*x^(2.0)+(3.0)*x^(3.0))
der3 =

(-2.0+(2.0)*x)*(2.0-(5.0)*x^(2.0)+(3.0)*x^(3.0))+((9.0)*x^(2.0)-(10.0)*x)*(1.0+x^(2.0)-(2.0)*x)
f =

(1.0+x^(3.0))^(-1)*((2.0)*x^(2.0)+(3.0)*x)
der4 =

(1.0+x^(3.0))^(-1)*(3.0+(4.0)*x)-(3.0)*(1.0+x^(3.0))^(-2)*x^(2.0)*((2.0)*x^(2.0)+(3.0)*x)
f =

(1.0+x^(2.0))^(17.0)
der5 =

(34.0)*(1.0+x^(2.0))^(16.0)*x
f =

(-9.0+(3.0)*t^(2.0)+t^(3.0)+(5.0)*t)^(-6.0)
der6 =

-(6.0)*(-9.0+(3.0)*t^(2.0)+t^(3.0)+(5.0)*t)^(-7.0)*(5.0+(3.0)*t^(2.0)+(6.0)*t)

导数的指数、对数和三角函数

下表提供了常用的指数、对数和三角函数的导数 -

函数 导数
ca.x ca.x.ln c.a (ln是自然对数)
ex ex
ln x 1/x
lncx 1/x.ln c
x^x x^x.(1 + ln x)
sin(x) cos(x)
cos(x) -sin(x)
tan(x) sec^2(x) 或 1cos^2(x), 或 1 + tan^2(x)
cot(x) -csc^2(x), 或 -1sin^2(x), 或 -(1 + cot^2(x))
sec(x) sec(x)tan(x)
csc(x) -csc(x)cot(x)

示例

创建一个脚本文件，并键入以下代码 -

syms x
y = exp(x)
diff(y)

y = x^9
diff(y)

y = sin(x)
diff(y)

y = tan(x)
diff(y)

y = cos(x)
diff(y)

y = log(x)
diff(y)

y = log10(x)
diff(y)

y = sin(x)^2
diff(y)

y = cos(3*x^2 + 2*x + 1)
diff(y)

y = exp(x)/sin(x)
diff(y)

当我们运行文件时，MATLAB 显示以下结果 -

y =
   exp(x)
   ans =
   exp(x)

y =
   x^9
   ans =
   9*x^8

y =
   sin(x)
   ans =
   cos(x)

y =
   tan(x)
   ans =
   tan(x)^2 + 1

y =
   cos(x)
   ans =
   -sin(x)

y =
   log(x)
   ans =
   1/x

y =
   log(x)/log(10)
   ans =
   1/(x*log(10))

y =
   sin(x)^2
   ans =
   2*cos(x)*sin(x)

y =
   cos(3*x^2 + 2*x + 1)
   ans =
   -sin(3*x^2 + 2*x + 1)*(6*x + 2)

y =
   exp(x)/sin(x)
   ans =
   exp(x)/sin(x) - (exp(x)*cos(x))/sin(x)^2

以下是以上计算的 Octave 等效方式 -

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
y = Exp(x)
differentiate(y,x)

y = x^9
differentiate(y,x)

y = Sin(x)
differentiate(y,x)

y = Tan(x)
differentiate(y,x)

y = Cos(x)
differentiate(y,x)

y = Log(x)
differentiate(y,x)

% 符号包不支持以下命令
%y = Log10(x)
%differentiate(y,x)

y = Sin(x)^2
differentiate(y,x)

y = Cos(3*x^2 + 2*x + 1)
differentiate(y,x)

y = Exp(x)/Sin(x)
differentiate(y,x)

Octave 执行该代码并返回以下结果

y =

exp(x)
ans =

exp(x)
y =

x^(9.0)
ans =

(9.0)*x^(8.0)
y =

sin(x)
ans =

cos(x)
y =

tan(x)
ans =

1+tan(x)^2
y =

cos(x)
ans =

-sin(x)
y =

log(x)
ans =

x^(-1)
y =

sin(x)^(2.0)
ans =

(2.0)*sin(x)*cos(x)
y =

cos(1.0+(2.0)*x+(3.0)*x^(2.0))
ans =

-(2.0+(6.0)*x)*sin(1.0+(2.0)*x+(3.0)*x^(2.0))
y =

sin(x)^(-1)*exp(x)
ans =

sin(x)^(-1)*exp(x)-sin(x)^(-2)*cos(x)*exp(x)

计算高阶导数

为了计算函数 f 的高阶导数，我们使用 diff(f,n) 的语法。

让我们计算函数 y = f(x) = x cdot e^{-3x} 的二阶导数。

f = x*exp(-3*x);
diff(f, 2)

Matlab 执行代码并返回以下结果：

ans =
9*x*exp(-3*x) - 6*exp(-3*x)

下面是 Octave 的等效计算：

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
f = x*Exp(-3*x);
differentiate(f, x, 2)

Octave 执行代码并返回以下结果：

ans =
(9.0)*exp(-(3.0)*x)*x-(6.0)*exp(-(3.0)*x)

示例

在这个示例中，假设一个函数 y = f(x) = 3sin(x) + 7cos(5x)。我们需要找出方程 f''+f=-5cos(2x) 是否成立。

创建一个脚本文件，输入以下代码：

syms x
y = 3*sin(x)+7*cos(5*x);  % 定义函数
lhs = diff(y,2)+y;        % 计算方程左边的值
rhs = -5*cos(2*x);        % 计算方程右边的值
if(isequal(lhs,rhs))
   disp('Yes, the equation holds true');
else
   disp('No, the equation does not hold true');
end
disp('Value of LHS is: '), disp(lhs);

运行文件后，将显示以下结果：

No, the equation does not hold true
Value of LHS is: 
-168*cos(5*x)

以下是 Octave 的等效计算：

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
y = 3*Sin(x)+7*Cos(5*x);           % 定义函数
lhs = differentiate(y, x, 2) + y;  % 计算方程左边的值
rhs = -5*Cos(2*x);                 % 计算方程右边的值

if(lhs == rhs)
   disp('Yes, the equation holds true');
else
   disp('No, the equation does not hold true');
end
disp('Value of LHS is: '), disp(lhs);

Octave 执行代码并返回以下结果：

No, the equation does not hold true
Value of LHS is: 
-(168.0)*cos((5.0)*x)

寻找曲线的最大值和最小值

如果我们正在寻找一个图形的局部最大值和最小值，我们基本上是在寻找在特定位置的函数图形上最高或最低点，或在符号变量的特定值范围内。

对于一个函数 $y = f(x)，在图形上斜率为零的点称为驻点。换句话说，驻点是满足 f'(x) = 0 的点。

示例

让我们找到函数 f(x)=2x^3+3x^2-12x+17 的驻点。

按照以下步骤进行：

首先，让我们输入函数并绘制其图形。

syms x
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;   % 定义函数
ezplot(y)

MATLAB 执行代码并返回以下绘图结果。

matlab 找到最大值和最小值

以下是上述示例的Octave等效代码。

pkg load symbolic
symbols

x = sym('x');
y = inline("2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17");

ezplot(y)
print -deps graph.eps

我们的目标是在图形上找到一些局部极大值和极小值，因此让我们在图形上查找区间 $[-2,2]$ 的局部极大值和极小值。

syms x
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;   % 定义函数
ezplot(y, [-2, 2])

MATLAB 执行代码并返回以下绘图结果。

matlab 最大值与最小值

接下来，让我们计算导数。

g = diff(y)

MATLAB 执行代码并返回以下结果。

g =
   6*x^2 + 6*x - 12

以下是上述计算的Octave等效代码。

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;
g = differentiate(y,x)

Octave 执行代码并返回以下结果。

g =
   -12.0+(6.0)*x+(6.0)*x^(2.0)

让我们解导数函数 g，以获得它变为零的值。

s = solve(g)

MATLAB 执行代码并返回以下结果。

s =
   1
   -2

以下是上述计算的Octave等效代码。

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;
g = differentiate(y,x)

roots([6, 6, -12])

Octave 执行代码并返回以下结果。

g =
-12.0+(6.0)*x^(2.0)+(6.0)*x
ans =
  -2
   1

这与我们的图形相符。因此，让我们在关键点 x=1,-2 处评估函数 f。我们可以使用 subs 命令在符号函数中替换值。

subs(y, 1), subs(y, -2)

MATLAB 执行代码并返回以下结果

ans =
   10
ans =
   37

以下是上述计算的Octave等效代码。

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;
g = differentiate(y,x)

roots([6, 6, -12])
subs(y, x, 1), subs(y, x, -2)

执行结果

ans =
   10.0
ans =
   37.0-4.6734207789940138748E-18*I

因此，在区间[-2,2]上，函数 f(x)=2x³+3x²−12x+17 的最小值和最大值分别为10和37。

求解微分方程

MATLAB提供了 dsolve 命令用于符号求解微分方程。

对于寻找单个方程的解的 dsolve 命令的最基本形式是

dsolve('eqn')

其中 eqn 是用于输入方程的文本字符串。

它返回带有一组任意常数的符号解，MATLAB将其标记为C1，C2等。

我们还可以为问题指定初始和边界条件，作为跟随方程的逗号分隔列表，如下所示-

dsolve('eqn','cond1','cond2',...)

为了使用 dsolve 命令，导数用D表示。例如，像f'(t)=-2*f+cost(t)这样的方程输入为

'Df=-2*f+cos(t)'

更高的导数通过在D后面跟随导数的阶数来表示。

例如，方程f''(x)+2f'(x)=5sin3x应输入为

'D2y+2Dy=5sin(3x)'

让我们以一个一阶微分方程的简单例子开始：y'=5y。

s=dsolve('Dy=5*y')

MATLAB执行代码并返回以下结果-

s=
C2exp(5t)

让我们再来看一个二阶微分方程的例子：y''-y=0，y(0)=-1，y'(0)=2。

dsolve('D2y-y=0','y(0)=-1','Dy(0)=2')

MATLAB执行代码并返回以下结果

ans=
exp(t)/2-(3*exp(-t))/2

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