MATLAB 代数

到目前为止，我们已经看到所有的例子都可以在MATLAB和其GNU的实现Octave中运行。但是，在解决基本代数方程时，MATLAB和Octave略有不同，因此我们将尝试分别介绍MATLAB和Octave。

我们还将讨论代数表达式的因式分解和化简。

在MATLAB中解决基本代数方程

solve 函数用于解决代数方程。在其最简单的形式中，solve函数将带引号的方程作为参数。

例如，让我们解出方程 x-5=0 中的 x。

solve('x-5=0')

MATLAB将执行上述语句并返回以下结果 -

ans =
   5

你也可以这样调用 solve 函数

y = solve('x-5 = 0')

MATLAB将执行上述语句并返回以下结果

y =
   5

你甚至可以不包括等式的右边部分 -

solve('x-5')

MATLAB将执行上述语句并返回以下结果 -

ans =
   5

如果方程涉及多个符号，则MATLAB默认假设你正在解决x，然而，solve 函数还有另一种形式 -

solve(方程，变量)

在其中，你也可以提到变量。

例如，让我们解方程 v-u-3t2=0 ，对于 v。在这种情况下，我们应该编写

solve('v-u-3*t^2=0', 'v')

MATLAB将执行上述语句并返回以下结果 -

ans =
   3*t^2 + u

在Octave中解决基本代数方程

roots 函数用于在Octave中解决代数方程式，您可以将上面的示例写成以下形式 -

例如，让我们解决方程 x-5 = 0 中的x。

roots([1, -5])

Octave 将执行上述语句并返回以下结果 -

ans = 5

我们也可以调用 solve 函数

y = roots([1, -5])

Octave 将执行上述语句并返回以下结果 -

y = 5

在MATLAB中解决二次方程

solve 函数也可以解决高阶方程。它通常用于解决二次方程。该函数将在一个数组中返回方程的根。

以下示例解决了二次方程 x2 -7x +12 = 0 。创建一个脚本文件并键入以下代码 -

eq = 'x^2 -7*x + 12 = 0';
s = solve(eq);
disp('The first root is: '), disp(s(1));
disp('The second root is: '), disp(s(2));

运行该文件后，它会显示以下结果 -

The first root is: 
   3
The second root is: 
   4

在Octave中解决二次方程

以下示例在 Octave 中解决二次方程 x2 -7x +12 = 0 。创建一个脚本文件并键入以下代码 -

s = roots([1, -7, 12]);

disp('The first root is: '), disp(s(1));
disp('The second root is: '), disp(s(2));

运行该文件后，它会显示以下结果 -

The first root is: 
   4
The second root is: 
   3

在MATLAB中解决高阶方程

solve 函数也可以解决高阶方程。例如，让我们解决一个立方方程 (x-3)2(x-7) = 0

solve('(x-3)^2*(x-7)=0')

MATLAB将执行上述语句并返回以下结果 -

ans =
   3
   3
   7

在高阶方程的情况下，根是长的，包含许多术语。您可以通过将它们转换为double来获得这些根的数值。以下示例解决了四次方程 x4 − 7x3 + 3x2 − 5x + 9 = 0 。

创建一个脚本文件并键入以下代码

eq = 'x^4 - 7*x^3 + 3*x^2 - 5*x + 9 = 0';
s = solve(eq);
disp('The first root is: '), disp(s(1));
disp('The second root is: '), disp(s(2));
disp('The third root is: '), disp(s(3));
disp('The fourth root is: '), disp(s(4));

% 将根转换为双精度类型
disp('Numeric value of first root'), disp(double(s(1)));
disp('Numeric value of second root'), disp(double(s(2)));
disp('Numeric value of third root'), disp(double(s(3)));
disp('Numeric value of fourth root'), disp(double(s(4)));

当你运行该文件时，它会返回以下结果

The first root is: 
6.630396332390718431485053218985
 The second root is: 
1.0597804633025896291682772499885
 The third root is: 
- 0.34508839784665403032666523448675 - 1.0778362954630176596831109269793*i
 The fourth root is: 
- 0.34508839784665403032666523448675 + 1.0778362954630176596831109269793*i
Numeric value of first root
   6.6304
Numeric value of second root
   1.0598
Numeric value of third root
   -0.3451 - 1.0778i
Numeric value of fourth root
   -0.3451 + 1.0778i

请注意 ，最后两个根是复数。

在 Octave 中求解高阶方程

以下示例解决了四次方程 x4 − 7x3 + 3x2 − 5x + 9 = 0。

创建一个脚本文件并输入以下代码 -

v = [1，-7，3，-5，9];
s = roots(v);

%将根转换为double类型
disp('Numeric value of first root'), disp(double(s(1)));
disp('Numeric value of second root'), disp(double(s(2)));
disp('Numeric value of third root'), disp(double(s(3)));
disp('Numeric value of fourth root'), disp(double(s(4)));

当我们运行该文件时，它返回以下结果 -

Numeric value of first root
6.6304
Numeric value of second root
-0.34509 + 1.07784i
Numeric value of third root
-0.34509 - 1.07784i
Numeric value of fourth root
1.0598

在 MATLAB 中求解方程组

solve 函数也可以用于生成涉及多个变量的方程组的解。我们来举个简单的例子来演示这种用法。

让我们解这些方程式 -

• 5x + 9y = 5
• 3x – 6y = 4

创建一个脚本文件并输入以下代码 -

s = solve('5*x + 9*y = 5','3*x - 6*y = 4');
s.x
s.y

当我们运行该文件时，它会显示以下结果 -

ans =
   22/19
ans =
   -5/57

以同样的方式，我们可以解决更大的线性系统。考虑以下一组方程式 -

• x + 3y -2z = 5
• 3x + 5y + 6z = 7
• 2x + 4y + 3z = 8

在 Octave 中求解方程组

我们有一种稍微不同的方法来解决 'n' 个线性方程的 'n' 个未知数的系统。我们来举个简单的例子来演示这种用法。

让我们解这些方程式

• 5x + 9y = 5
• 3x – 6y = 4

这种线性方程组可以写成单矩阵方程 Ax = b，其中 A 是系数矩阵，b 是包含线性方程右侧的列向量，x 是表示解的列向量，如下面的程序所示 -

创建一个脚本文件并输入以下代码

A = [5，9;3，-6];
b = [5;4];
A \ b

当我们运行该文件时，它会显示以下结果

ans =
   1.157895
  -0.087719

同样地，我们可以解决更大的线性系统，如下所示 -

• x + 3y -2z = 5
• 3x + 5y + 6z = 7
• 2x + 4y + 3z = 8

在 MATLAB 中扩展和收集方程

在MATLAB中展开和收集方程的功能由 expand 和 collect 函数提供。以下示例演示了这些概念：

当我们使用许多符号函数时，应声明我们的变量是符号变量。

创建一个脚本文件并输入以下代码 -

syms x   % 符号变量 x
syms y   % 符号变量 y
% 展开方程
expand((x-5)*(x+9))
expand((x+2)*(x-3)*(x-5)*(x+7))
expand(sin(2*x))
expand(cos(x+y))
 
% 收集方程
collect(x^3 *(x-7))
collect(x^4*(x-3)*(x-5))

当运行该文件时，它将显示以下结果 -

ans =
   x^2 + 4*x - 45
ans =
   x^4 + x^3 - 43*x^2 + 23*x + 210
ans =
   2*cos(x)*sin(x)
ans =
   cos(x)*cos(y) - sin(x)*sin(y)
ans =
   x^4 - 7*x^3
ans =
   x^6 - 8*x^5 + 15*x^4

在Octave中展开和收集方程的功能也由 expand 和 collect 函数提供，但需要安装符号软件包。以下示例演示了这些概念

当您使用许多符号函数时，应声明您的变量是符号变量，但Octave有不同的方法来定义符号变量。请注意，Sin 和 Cos 也在符号软件包中定义。

创建一个脚本文件并输入以下代码 -

% 首先加载软件包，确保其已安装。
pkg load symbolic

% 使符号模块可用
symbols

% 定义符号变量
x = sym ('x');
y = sym ('y');
z = sym ('z');

% 展开方程
expand((x-5)*(x+9))
expand((x+2)*(x-3)*(x-5)*(x+7))
expand(Sin(2*x))
expand(Cos(x+y))
 
% 收集方程
collect(x^3 *(x-7), z)
collect(x^4*(x-3)*(x-5), z)

当运行该文件时，它将显示以下结果

ans =
-45.0+x^2+(4.0)*x
ans =
210.0+x^4-(43.0)*x^2+x^3+(23.0)*x
ans =
sin((2.0)*x)
ans =
cos(y+x)
ans =
x^(3.0)*(-7.0+x)
ans =
(-3.0+x)*x^(4.0)*(-5.0+x)

代数表达式的因式分解和化简

factor 函数用于因式分解表达式，而 simplify 函数用于简化表达式。以下示例演示了这些概念

示例

创建一个脚本文件并输入以下代码

syms x
syms y
factor(x^3 - y^3)
factor([x^2-y^2,x^3+y^3])
simplify((x^4-16)/(x^2-4))

当运行该文件时，它将显示以下结果

ans =
   (x - y)*(x^2 + x*y + y^2)
ans =
   [ (x - y)*(x + y), (x + y)*(x^2 - x*y + y^2)]
ans =
   x^2 + 4